この画像を大きなサイズで見る「無限」ってなんだろう？深く考えなければそれは単純に「限界のない」ことである。だが、その意味を深く考えれば考えるほど良くわからなくなってくる。
無限とは単なる抽象的概念だろうか？
それとも現実に存在するものなのであろうか？
かの天才物理学者、アインシュタインはこんな名言を残した。
無限なものが2つある。宇宙と人間の愚かさだ。
宇宙については断言できないがね
アリストテレスからドイツの数学者ゲオルク・カントールまで、古今東西の偉大な頭脳たちが「無限」について思索してきた。では結局無限とは何なのか？
無限は一種類だけではない
無限は数学の世界にはきっちり根付いている。だが米コーネル大学の数学者ジャスティン・ムーアによれば、この分野のそれは世の中のそれとは少々異なっている。
「多くの場合、実数直線の終わりにある一種の仮想数を意味しています。あるいは整数で数えるには大きすぎるものを指す場合もあります」
この画像を大きなサイズで見るまた無限は一種類だけではない。
例えば、数を数えるという行為は、終わりのないある種の無限を象徴している。いわゆる可能無限というやつだ。
理論的には、最大の数に到達することはなく、永遠に数え続けることができる。しかし例えば無限の記号のように、無限に境界を設けることもできる。そしてその境界内にある限りは、際限なく繰り返すことができる。
あらゆる無限が等しく等価であるわけでもない。19世紀末、カントールは、実数の集合が、自然数の集合よりも大きいことを証明したと主張して議論を巻き起こした。整数はすでにして無限であるために、一部の無限は他の無限よりも大きいということになる。またその整数のような集合と対照的に、ある種の無限が不可算である可能性も示した。
「当時、それは衝撃的なことでした」とノルウェー、オスロ大学で論理学と数学を哲学するオイスタイン・リネボは説明する。「しかし数十年をかけて数学の中に取り込まれていきました」
無限がなければ、多くの数学的概念は破綻してしまう。
例えば、円、球、楕円が関係する幾何学の公式に必須である円周率πは、本質的に無限と繋がりがある。それが無理数（分数として表すことができない数）であり、無限に続く小数で構成されているからだ。
また無限が存在しなければ、最大の数というものもあることになる。それは完全なナンセンスである。あらゆる数にさらに大きな数がなければ、きちんと機能しないのだ。
測定不能なものを測定できるか？
しかしながら実世界ではまだ無限は見つかっていない。
もしかしたら、向かい合わせた鏡の表面で無限に反射する様子は見たことがあるかもしれないが、それは光の効果に過ぎず、物体自体はもちろん無限ではない。
「現実に無限が存在するのかどうか、それは大いに疑義のあることです。それに無限は測ることもできません」とリネボ。
その存在を証明するために無限を計測しようと試みても無駄だ。計測できるとは、それはつまり有限であることを意味しているのだ。そう試みても具体的な量を掴めないという結果になる。
「メーターが振り切れます。分かるのはそれだけです」とリネボは説明する。
実世界で無限を探し求めようという試みでは、大抵は宇宙に目が向けられる。我々が知る中では最大の実体だ。それでも、それが無限なのか、それともただやたらと大きいだけなのか証明するものはない。
この画像を大きなサイズで見るアインシュタインは、宇宙は有限であるが、境界がないと提唱した。無限と有限の中間のようなものだ。彼は、それを想像できない一種の球であると説明した。
無限というと大きいものが連想されがちだが、数学者の中には無限に小さいものを見つけようとする者もいる。
理論上、線に2つの点の間の区間をとれば、それを二分し続けることができるはずである（これは二分法として知られるゼノンのパラドックスの一種である）。
同じ理屈を物質に当てはめようとすれば、たちまち壁に突き当たる。現実世界の物体を原子やそれを構成する素粒子にまで小さく分解することは可能だ。しかし現在の科学では、亜原子粒子をそれ以上分解できないことになっている。
特異点の無限
現実世界で無限が見つかるとすれば、その最有力候補はブラックホールかもしれない。ブラックホールの中心には、特異点と呼ばれる膨大な質量を内包すると考えられている1次元の点がある。物理学者によれば、この奇妙な1点の密度や曲率といった特性は無限であるという。
特異点において、そうした無限によって多くの等式が破綻するために、ほとんどの物理法則は通用しなくなる。例えば、時空はもはや別個の存在ではなく、融合すると考えられる。
この画像を大きなサイズで見るしかしリネボに言わせれば、ブラックホールは実体としての無限の実例には程遠いものだ。「私の印象ですが、物理学者の大半はそこで彼らの理論が破綻すると言っているように思います。無限の曲率や密度になってしまえば、理論が適用できる範囲を超えているというわけです」
ゆえに特異点を説明する新しい理論が必要になるだろう。それは物理世界での可能性を超越するように思える。
現時点において、無限は抽象的概念に留まっている。人間の頭脳によって作り出された概念であるが、果たしてあなたにはそれを思い描くことができるだろうか？ そのためには我々の頭脳もまた無限でなければならないに違いない。
via:What Is Infinity? | Mental Floss/ written by hiroching / edited by parumo
追記(2018/2/1)： 本文の一部を修正して再送します
おそらく
「カントールは、自然数のある集合は、整数自体よりも大きいことを証明したと主張して議論を巻き起こした」
は間違いかと思われます
正しくは実数の集合は自然数の集合より真に大きいことを証明した、であると思われます
自然数の集合と整数の集合の大きさは同じです
全ての素数の積が偶数にならないって話がすき
(2を含むから例えば1000000までの素数の積なら偶数になるけど、「全て」だと4π^2になるとかいう)
何を言ってるんだ？
「∞-1は有限最大の数」という考えは大いに違うらしいよ。
キャプテンウルトラの最終回は
無限の入り口に行く話
バイバイン定期
まるでわけがわからんぞ！
何となく、人間に取って大腸菌だのが塵以下の存在に感じるのと同じく、太陽系を塵以下と感じる存在が有るんだろうなぁとは漠然と思ってる
ソレを塵以下と感じる何かもあっても可笑しくないかなとか妄想してる
ホントに何となくだけど
※9
今日宇宙の成り立ちみたいな動画見てたら、ビッグバン事態がブラックホール内部で起こったものかもしれなくて、我々の宇宙はどこかの宇宙の中にあったし、この宇宙のブラックホールも他の宇宙を産むかもしれないと言ってて面白いなあと思った
※9
ミジンコ育ててるんだけど、元気で動き回ってくれてたら嬉しいし、元気なさそうだったら水換えしたりしてなんとか生かそうとするんだけど、
ミジンコはそんなことする存在がいるなんて思わないかもしれない。
宇宙とか地球が水槽みたいなものでそこに住む生命をいとおしんで世話してる存在がいても人間は気づかないのかも。
全単射が存在するか？というところを解説しないと無限より大きい無限の概念はつかめないと思う
時間や空間に最小単位がなくて、無限に小さい距離とか時間が可能なら、無限は存在することになりそうだが、多分最小単位はありそうな気がする。
戦車や建設機械などの車輪は、しばしば”無限軌道”と呼ばれたりするけど、ちょっと意味が違うかな？w
※13
終わりも始まりもないモノも無限に含まれるのではないのかな
それを無限の象徴と言っても間違いではないのでは
無量←量が無いとの意味ではない。
無数←数が無いとの意味ではない。
無限←同じく、限りが無いとの意味ではない。
無数とは「敵が無数に居る」の様に、「数の把握が出来ない」との意味。
無量とは「計り知れない」との意味。無量大数で「計り知れない大きな数」だ。
では無限とは？「限界は様々」という意味。限界なんて人それぞれだし、モノによる。般若心経では「無限界」と言うな。
このように何故インド哲学の「無」の概念が、後世では「不」の意味になったのかが謎。
「不老不死」とは「老いず、死なず」だな？では「無老死」は？「老いも様々、死も様々」なんだ。だから般若心経では「不生不滅（生まれず滅びず）」と「無老死尽」の二つが使われている。尽は「もっぱら」だな。「尽きる」だったとしても意味は「老いも死も様々と言う他ない」だ。
現代のお坊さん達よ、翻訳間違っているぜ？
般若心経をディオゲネス風に言えば「私には眼鼻耳口身体そのものは見えんがね。授想行識もだ。それらの定義は何かね？それは固定されているモノなのか？人によって違うものではないのか？」だ。お釈迦様が知恵第一の舎利子に答えた内容を三蔵法師が中国語に翻訳して？それを空海が写経してきた？日本語への翻訳が間違っていれば意味ないだろそれ。ヘブライ語から英語に翻訳したら意味分からなくなった新約聖書と変わらんぞ。サンスクリット語から直接日本語に翻訳しなさいって。
…ということで無限（界）＝infinityではありません。無限大（大の定義が付けられない）ですってお話でした。
宇宙が無限ならどんな低い可能性もゼロでない限り100％起きるのかな？
地球が滅んだ後に地球と全く同じ星が出来て自分と全く同じ人間が生まれるなんてことも…
記事読んでて数字から遠ざかった自分の「黒歴史」思い出したわ。
小３の頃までは、数字が何故か大好きだったんで、叔母の「そろばん塾」に通わせてもらってたんやが、ある日、数字を見んのも嫌んなって、塾キッパリやめた。とてもバカバカしい理由なんやけど…まぁこんな感じ。
そん時、ワシ気付いたんだ。
1，2，3，…と順番に数を数えて行くと、無限に数えられるだろ（まぁ、生きてる間はね。それに「無限に続く」って言っても感覚的に解るだけなんだけどさ。まぁ、とりあえず…そゆことにして）そんで…今度は、奇数だけでも１，3，５…ってこれも無限に数えられるよね。偶数だけでも２，4，６…ってこれも無限に数えられるよね。（ゼロを偶数に含めるという人もいるけど、今は無視する）そこで考えたわけさ…「奇数全部」の無限て、「最初から順番に数えた全体の数」のちょうど半分（２分の１）の無限ってことじゃんって。偶数でも同じことだよね。っうことはさ…同じ「無限」でも大きい無限（全体の数）と小さい無限（「奇数全体」か「偶数全体」）があるってことじゃん。…「何か変じゃない？「無限」なのに大小があるってどゆこと？」 って思って、若い担任の先生に訊ねてみたら「変なこと聞くな！馬っ鹿じゃないの？」って一蹴り。今にして思えば、男勝りの若い女の先生だったから、こういう口調になったと思うんやけど…ワイぷっつん。以来、数字とはオサラバ。突然、塾を辞めたんで親もビックらしてたが、理由について聞かれても絶対に口割らんかった。中高大と友達とファミレスやコンビニに行っても、暗算で答え出てても知らんぷり、馬鹿にされても絶対わからんふりを押し通して今に至る。きりっ！（まるで、紫式部状態だな…そんなエエもんじゃないか…）小３にして厨二病って……ワイの人生って……
ぐぬぬうううう！何故だ？なぜそっちに走った…恨むぞ昔のオレ…
※16
ところが、無限の世界では偶数全体の個数と自然数全体の個数は同じ大きさになる。
1ー2
2ー4
3ー6
4ー8
…
と、無限に1対1に対応できるので。
※28と30
ありがとやで。なんかすっきりしたわ。
モルダーちょっと疲れてたみたい…
素数は無限にある。
それぞれの素数に自然数で番号を振ってゆくと、
２（１番目）、３（２）、５（３）、７（４）というように自然数との対応が出来上がる。素数というカップには必ず自然数というソーサーが付けられるようなもの。
この方法に従えば整数も自然数も偶数も奇数も素数も同じように番号を付けられるという点で同一になる。
しかし、カントールはこれらが当てはまらない、つまり番号を付けてゆくことが出来ない無限を発見する。
それはとりもなおさず無限よりも大きな無限の発見だった。
新説を発表した後のカントールは、天動説の時代に地動説を唱えたかのように追い立てられ、良い仕事も得られず宗教に嵌り、さらに心の病でサナトリウムに入るなど不幸な晩年を送ることになる。
２０世紀初頭の数学者たちにとっても無限は理解しがたいものだった。
この手のを調べてくとAにおける無限よりもBにおける無限の方が数が大きいが、CはA+Bの10倍の数とか言い出して凡人の脳みそにはどんどん訳が分からんくなる
無限に考えようという事を無限に考えようという事を無限に考えようという事を無限に考えようという事を無限に考えようという事を無限に考えようという事を無限に考えようという事を無限に考えようという…
∫δ(x)dx＝1 かつδ(x)＝∞（x=0）0(x≠０）
サムネイル画像でトライポフォビアを思わせるのは辞めてほしい。
円周率等の無理数は小数点以下が無限に続くが
無限に続く中で一部の数列を抜き取ってビット変換すると君の顔の映ったjpegファイルになる
という事が必ずどこかの時点（数列）で起こる
この恐怖感ったら無い
※23
映画「コンタクト」の原作小説には、地球外知的生命体と遭遇したエリー博士が、地球外知的生命体からヒントをもらって、円周率を永遠と計算させていたら、ある時”0”と”1”の羅列が出現して、その数列を二次元配列してみたら、正円の図形が現れたって話があったよw
※23
それが成立するのは「正規数」の場合
円周率が正規数であるか否かは判明していないよ
宇宙は、非ユークリッド空間。
極微は、ひも。
無限って糞つまらん仕事や怒られてる時、勉強してない
テストでもよく経験する時間（意味違ｗ
どこかのアニメでも言ってたがネットの世界が無限と言えるじゃ
ないの。ただネットとはいえ限りはあっても有限ではない
無限なんて哲学を学ぶなら、限りある世界のほうを大事にしたいぜ
限度はあるんじゃ、ブラックホールも引き寄せる限界が来て吸い込み過ぎて仕舞いにはジェットで噴き出すんじゃなかったけ、宇宙空間がゴムなら全てに限度と反発があるのが普通じゃないかね、違う見方をすると反発がないとあらゆる事象が存続も出来ない。
この宇宙に於ける無限は反発作用と宇宙原理によって実現しないが現代の考察の限界だと思う。宇宙のありとあらゆる物が限界に縛られていると無限は存在しないんじゃないかね。
次元が存在すると無限は存在できない、次元が存在しないと宇宙が存在しない。無限は個別も関係無しに考えるだけ無駄、無限を想像することは宇宙の存在を否定することに繋がるだけだと思う、でも地球や宇宙はあるわけだからね。
個人が想う無限は宇宙の有限より小さい
「無限に拡がる、大宇宙・・・」
あのオープニングはすばらしかった。
無限大と無限大＋1ではどちらが大きいか、数学的な証明はまだ出来ていないそうな…
想像もつかないような事を証明出来て、疑問の余地が無さそうな事を証明出来ない「数字」…傍から見てる分には不思議で面白いね
モルダーあなた疲れてるのよ
この宇宙の中に無限は存在しないと思うけど、あらゆる可能な宇宙は無限に存在するんじゃないかな。
存在のあり方に恣意性がないとすれば、そのあり方は無か無限のどちらかだろうから。
無限という概念を最初に突きつけられるのは、数Ⅲの極限、そして極限の概念を応用する微分。そりゃ、計算の仕方を覚えて問題を解くことは出来るけど、概念そのものを本当に理解しているか？と問われると歯切れの悪い返事しか出来ない。
微分を真に理解している、とは、一体どのようなことなんだろうか？
無限って0って事だろ？
アインシュタインは「人間の愚かさは無限である」というが、大アルカナの「愚者」が示すとおり、愚かさは可能性に繋がる。私は「真に無限なのは人間の可能性である」と信じたい。
無限なんてものは存在しない。全ては○、只々循環し続けているだけ。
矛盾しているという事はそもそもの前提が間違っている事に気づいていないだけ。
所詮、人間なんてそんな程度。
アインシュタインの「無限なものが2つある。宇宙と人間の愚かさだ。宇宙については断言できないがね」って言葉は宇宙同様まだはっきりと確認すらできてない無限に関しての数多の詭弁とそれを得意げに話す人間を皮肉ってるように聞こえる
アインシュタイン君、ドヤ顔ウザい
数え切れないならもう無限にあるのと同じ
概念の話を実世界に当てはめて考えようとするからややこしくなる
真円と直径が描かれていたとしてもそこに円周率の数列が描かれている訳では無い
無限とは限りがない。つまり何もないのサw
人間から見たら無限に見えるぐらいとてつもない規模のものってことだったりして
人間の尺度で見るから無限に見えるのであって全ては有限なのかもしれない
それとも今ある宇宙、世界は無限、有限どころか幻想かもしれない
※48
やだ、かっこいい…（心房細動）
※48
それが答えじゃないけど
今いる宇宙が他にも同時に沢山生まれたってところまでは論破されている
-1/12だっけ？
最後の我々の頭脳もまた無限でなければならないが至言だと思う。有限でしかない我々が見る世界は要するにカメラで切り取った景色しか認識できないわけで、360°の景色を見ることはできない。だから顔をあらゆる方向に向けて擬似的に見るわけだけど、それも所詮は有限を繋ぎ合わせた有限でしかないからね。
でも我々が物体(肉体)から離脱することが可能になれば、また違う景色を見ることはできるのかもしれない。
さぁさぁ、皆んなご飯よ～🍚
食べたらお風呂入って寝なさい。
無限の本質は、考察順序だと思う。
難しいので、とりあえず放置して別の事を考えようというのが無限の起源。
未開民族の1、2、3、『いっぱい』。この『いっぱい』が無限これが本質なんだと思う。
極限操作にしても、色々な方程式を建てて、そののちに⊿x→0で無限を取り扱う。
⊿xの計算を後回しにするという事なんだ。
ここで、量子力学の世界を見ていると、観測すると状態が定まる訳であるが、それまでの計算はまるで極限操作のように前もって計算式だけを建てて、観測時点で一通りに決定する。必要になるまで放置している。そういう計算で現実の量子がうまく説明できる。
これは、自然界に真の無限が存在しているという事なんだと思う。
電磁気力と重力、そしてお前らの愛は無限の彼方まで届く
サムネ画像でベルセルクで一番最初に登場した異界思い出した奴他にもいると思う
エッシャーの騙し絵空間みたいなのが無限に続いてるやつ、あれは恐怖だった
＞整数はすでにして無限であるために、一部の無限は他の無限よりも大きいということになる
ちょっと何言ってるのか判らないのでガンダムで例えて。
無限とは…
HONDAに聞いてみよう！
連続体仮説 だにゃ
実数の無限（ℵ1） ＞ 自然数の無限（ℵ0）
数には
数・数式・方程式の解など記号列で表現できる記述可能な数と
どうやっても記号では表現できない記述不能な数があって
記述可能な数は自然数の無限個あって
記述不能な数は実数の無限個ある
ってのでいいのか？
誰か添削してくれ。
無限があるせいで
不完全性定理なんてのもある
学問を突き詰めると哲学になる
※61
逆もまた然り。
暇なヤツが考える対象
※64
暇だからこそ考えて色々膨らませられるんじゃないか
それが楽しいのもあるだろう？
無限。アインシュタインが答え出してる
人類の愚かさ
これは人類が存在する限り未来永劫無限にあるもの
例えばだ、球体の上を歩き続ければ無限に前に進むことができる。その球体も1種類ではなく、大きな球体、小さな球体、或いは色が違うかもしれない
そういう話でしょう、なにも無限というのは大きすぎる数字に限ったものではない
言った人に聞きなさい。
ハエも単一で無限にクローン卵産みつけまくるやね
無限は物理法則を型どる壁
無限、有限の最上級。
無限、終わりの無いものだから始まりも無い。
「無限」な物がもし存在したら世界は全部それに侵食されそう
自然数の無限より実数の無限が大きいってのは
1があれば1.1があって100があれば100.1があって1億があれば…みたいに
無限に自然数より大きい数が存在できるから、って解釈したけどそういう話とは違うのかな
あるでしょ？
実際に、今体験中でしょ？
今生きてる世界は、無限じゃないのか？
唯物論者は、タヒねば終わりと思うかもしれない。しかし、この世界は、終わる事がない。
実際に無限が実在しようと、それもまた、推測できるに過ぎないのかも。
無限なものを、どこまでも確認し続けるわけには、いかないのだから。
宇宙の寿命が先に尽きてしまう。
>無限の記号のように、無限に境界を設けることもできる
無限は境界ではなく、「状態」だと、私は考えている。
もっといえば、「最大値が増え続ける状態」（＋∞の場合）。
また、円周率がどこまでも無限に続くかどうかも、納得していない。
無理数というものがそうらしく、また円周率の無限性を数学的証明した、というのもあるようだが、それすらも「予想・推測に過ぎない」と感じている。
永遠に、無限の先を確認し続けることは、できないのだから……
無限なものを、無限と認識できるようには、思えない。推測は、できるのだろう。
数学は、想像上のものに、過ぎない。
無限っぽいものを想像するとするならば、無限ループ構造的な、なにか、だろうか……？
浅学ですが適当に思いついたことだけ書き残させてもらいます。
数学自体人間の発明品だから、概念を発明した時点で数直線に永遠に数が敷き詰められている。人間が意識的にスポットライトを当てないだけで…
無限の定義にも問題があるのでは。現代数学は大抵実無限を採用してますが
≪…無限…≫を幽霊で自然数の創生過程を・・・
4冊の絵本で、
「こんとん」夢枕獏文松本大洋絵
「ゆうかんな3びきとこわいこわいかいぶつ」スティーブ・アントニー作・絵 野口絵美訳
「みどりのトカゲとあかいながしかく」スティーブ・アントニー作・絵 吉上恭太訳
［もろはのつるぎ」（有田川町ウエブライブラリー）
人間の愚かさにについては確かに無限であると断言できるね、これは自明でありもはや公理だ
人間が確かに存在するならば、無限は存在する
神の証明と同じく、これは見事な論法
無限を観測しようとするならば常に観測者が居るから鏡の自分をみれば
そこに無限に愚かな存在を見つめることができる！
自身と融合してしまえば回避できる！
数の言葉ひふみよ（1234）とカタチ（〇△▢）と言葉の点線面の［分化・融合］は、3冊の絵本で・・・
絵本「哲学してみる」
絵本「わのくにのひふみよ」
絵本「もろはのつるぎ」